番外特刊一：刘教授妙谈围棋群论
番外特刊一：刘教授妙谈围棋群论许同学忘形平行地球 僧秋船问范昭道：“范哥，你刚才说到群论，还有全局强关联计算，这是怎么回事啊？” 龙和尚听到僧秋船的问话，也觉得新奇，看向范昭。范昭道：“这个事情，说起来话长了。”说着，范昭不自觉想到了穿越前二十一世纪的事情，一切是那么遥远，却清楚似乎在眼前。 二十一世纪，范昭还是许时今的时候，在大学期间，学校的一个角落有一个茶社，那是个围棋爱好者经常聚会下棋的地方。许时今也经常到那里去玩，那时许时今的标准定式就是要一壶最便宜的茶，然后在棋盘前泡上几个小时。有一次，他遇到了一位高人。这位高人之所以“高”，倒不是棋有多高，而是他是一位教授，而且在和许时今下完棋之后，发表了一番高论，令许时今一直难忘。 教授姓刘，是谦和长者，棋力有业余5段，第一次和许时今下棋，就完美攻杀了许时今的一条大龙。许时今震惊之余，虚心向刘教授请教。于是，刘教授和许时今开始了长谈，长谈的内容涉及到高等数学“群论”在围棋中的应用。许时今知道群论，这是抽象数学中的一个分支。出于专业需要，许时今接触过群论，印象中这是在研究分子轨道中使用的一种数学工具。但是围棋和群论这两种事情真能联系到一起吗？许时今对这个问题充满了好奇。 许：“教授，您说围棋的计算和群论有关，请您详细讲讲。” 刘：“经过我的研究，其实围棋的计算过程可以用群论来推导。小许，你告诉我围棋做眼的实质是什么？” 许时今：“教授，您好象在问一加一为什么等于二，围棋哥德巴赫猜想吗！” 刘教授：“这是很基本的理论问题，你不理解这个，没法达到高级境界。” 许时今：“好吧，做眼不就是拥有一口永恒的气吗？” 刘教授：“你学过群论吧，你是天体物理专业，应该学过吧？” 许时今：“学过。” 刘教授：“还记得定义吗？” 许时今：“群的概念是，对于一个非空集合，定义一个二元计算，要符合封闭性，结合律，存在单位元和逆元，非空集合就是一个群，不存在逆元就是半群。通俗的讲，封闭性就是任何两个元素的运算结果还是在集合中；结合律就是运算次序的变化，参考加法的结合律；单位元是任何元素与单位元运算结果不变，类似于任何数乘以1还是原来的数，那么1就是单位元；逆元类似于倒数的概念，一个元素乘以逆元，等于单位元。” 刘教授：“不错。咱们慢慢来，先看群元素，群元素就是围棋盘上一个构型，这个群有3的361次方的群元素。围棋每一个构型都是群元素，每下一着棋看做一次群乘法。下一步或者多步的结果仍然是一个构型，仍在空间内，所以这个群是封闭的。” 许时今：“这个是当然。3的361次方个元素的有限群？这和无限群也差不多了！好吧。那么群乘法呢？” 刘教授：“群乘法的定义就是：这样的构型： 加上这样的构型： 等于这样的构型。” 刘教授：“下面看结合律。” 许时今：“结合律可以吗？如果考虑提子的话？比如这个构型 加上这个 不等于 而是 这样，假设 a： b： c： 三个构型做乘法次序可以交换吗？” 刘教授：“可以，都是这个。” d： “那么下面是单位元，对任意构型a，满足。 称为单位元，也称幺元，很容易看出空枰是单位元。” 许时今：“逆元呢？一个构型和什么构型乘法后得到空枰？” 刘教授：“没有逆元，是一个半群。围棋是一个半群！” 范昭回忆到此，把刘教授的话原样照搬讲了一遍，僧秋船哪里听得懂这些，大感头疼。 范昭看向梅儿，梅儿也听得晕晕的。 范昭看向龙和尚，龙和尚微笑不语。 梅儿终于忍不住问道：“范哥哥，你说的这些到底有什么用啊？” 范昭对梅儿道：“先要知道构型这个概念，但是构型不等于下棋，下棋是构型的变换，但是这个变换并不是任意的，而是有方向的。也就是说，构型是往棋子增加的方向发展的。既然群元素变换有方向，就某一个构型而言，就存在一个剩余构型的概念。” 梅儿道：“剩余构型就是在一个具体某构型基础上，继续发展能够构成的构型吗？” 范昭答道：“是，或者用术语说，就是就一个具体群元素，下棋时可能构成的其他构型定义为剩余构型。” 梅儿迷惑道：“范哥哥说的话我没听懂。”范昭道：“先不管这些了，先说下棋，下棋就是下棋是只增加一个棋子的群乘法。”梅儿歪头想了想，点点头，表示听懂了。 范昭继续兜售刘教授的理论：“围棋的每个格点上都有三种可能状态。或者叫三种可能的量子态，如果构成了一个眼，那么这个格子的量子态数量就改变了。也就是说，实际上做眼就等于改变了相关格点的量子态数，由3变到2了。 广义上讲，下棋就是构型，就是改变尽量多格点的量子态，吃掉对方棋子就是一次量子态的改变。那么算路这个事情用群理论的语言说就是对于一个构型，双方按照具有临界性质的涨落的原则进行群乘法，所得的结果在逻辑上等价。” 范昭滔滔不绝，卖弄起来：“对于一个死活问题，如果有明确结论的话，即使变化很多，双方着法正确，结论也是不变的。无数经验早证明了这点。当然我们现在说这些还是想知道计算的本质是什么，一道死活题，通过计算算尽所有分支，能得到结论。多算者胜，自古如此，想不算是不行的，但是想减少计算量还是能办到。” 僧秋船望着范昭，无力的道：“下棋是只增加一个棋子的群乘法，这个我明白。”范昭：“错，群乘法和下棋有很大区别，下棋时不能自杀，而群乘法可以，自杀的群乘法是允许的，得到的构型和原构型相同，称为与原构型简并。下棋原则上是可以考虑任何点的，但实际上有些棋是不可能考虑的。但是群乘法考虑所有可能性。” 梅儿打断范昭：“范哥哥是说棋形变化的穷举。但是这些有什么意义呢？”“必须先用群论的思想构建一个世界，然后才能进行有效的思考。”范昭学刘教授，雄辩道，“你再考虑，围棋做眼的本质是什么？”梅儿道：“刚才范哥哥说了，这是哥德巴赫都解决不了的问题，叫猜想。” 范昭得意地一笑，道：“呵呵，还是从最简单的例子开始吧。看这个图:” 范昭：“黑1做眼啊。” “黑1做活，计算它的剩余构型数，考虑A，B，C三点。原则上每个点有三种可能，但是由于简并的存在，BC都只有两种可能，A有3种可能。你算算剩余构型数是多少？增加一个子的构型数是：2 1 1=4；增加两个子的数量是：5；增加3个子构型数是2；一共剩余构型4 5 2=11。 要是黑这样下，剩余构型数是多少？ A，B，C都有3种可能状态，还按刚才计算方法，增加一个子的构型数是：2 2 2=6；增加两个子的数量是：12；增加3个子构型数是2的三次方等于8；一共剩余构型6 12 8=26。我得验证下，还要考虑简并，重复的构型数是3个，所以剩余构型数实际上是24个。” 范昭在棋盘上摆出记忆中的图形，自顾自地解说着，旁边僧秋船已经傻眼了，梅儿则满心欢喜的看着范昭。 范昭继续说道：“11比24，差好多。考察剩余构型的数量这个个概念，活棋，会产生眼，导致大量简并，实际剩余构型数会减少。所以下棋，做活是让己方的剩余构型数尽量少，反过来杀棋，就是让对方的剩余构型数尽量多。这和熵的原理是相同的。死活中，比如眼位丰富，这种话怎样理解？说的是剩余构型中能够做活的方法多样，这样有多种做眼的可能，眼位多，存在大量简并，剩余构型数会大幅少。” 梅儿问：“什么是熵，哪个字？” 范昭在桌上用手指粘茶水写出了“熵”这个字，解释道：“这个字的意思是事物的混乱程度。一般来说，世界的混乱程度只能越来越大，熵也就一直在增加。” 一直沉默的龙和尚此时发话了：“世人多妄行，世界的熵就会增加，但是如果有一天世人能遵佛法而行事，世界的熵就会减少。” 范昭听罢不以为然，心道：“这是二十一世纪伟大的科学，你虽然是棋圣，但是究竟不过是中世纪的一位宗教家，怎么能知道这些？” 范昭得意忘形，洋洋洒洒道：“这个熵理论是西方国家的一个名人名字叫玻尔兹曼的，他说事物总是趋向于存在分布数最大的那个状态。有一个说明熵的意义的典型例子：四个气体分子分布在两个盒子里。四个分子是两个氧气，两个氮气分子，自然界分子分布是尽量使分布可能性多，所以分布的结果是每个盒子各一个氧分子一个氮分子。” 龙和尚笑而不语。 梅儿皱起眉头，不明“气体分子”为何物？ 僧秋船继续发呆。 范昭见三人表情各自有趣，越发卖弄起来：“这里我们可以看到围棋的奇妙，围棋是和自然界相通的。事情的根本在于围棋这个半群的乘法定义的特性。实际上构型数减少的根本原因在于眼的定义使格点的状态数减少而产生的简并，这是围棋规则决定的。自然界是无序的，尽量混乱的，而下棋的目的是使自己尽量有序，使对方无序。这样就出现了动态熵的概念。” 梅儿道：“范哥哥，我有点明白了，实际上构型就决定了剩余构型数。那么，对于一个死活题，构型一出来，剩余构型数就是确定的，那么是死是活其实是确定的。但是实际上还是要找到正确下法啊！” 龙和尚道：“范小友对围棋的解释深合佛法，但是对于熵的阐发就未必了。我且问你，若是开天辟地以来，熵一直增加，则熵增到何时是极限？”范昭道：“增加到世界一片混乱，不能再混乱为止。”龙和尚问道：“开天辟地以来，不知过了多少无量劫数，若是能达到极限，早就达到了，为何我等还可以在此坐而论道？” 范昭一下子语噎。 范昭知道宇宙的寿命大约有130亿年，这确实有点长，如果能达到极限，恐怕早达到极限了。范昭更知道，物理界有个名词叫热寂，专门描述这个状态，而且物理界早有人注意到了这个问题，对此还有专门的研究。 范昭思考片刻，道：“必须有熵减少，但是是什么力量让熵减少了？” 龙和尚道：“当然是佛法！” 范昭大晕，刚想反驳，突然发现自己现在的身份是范昭，不是大学校园里的许时今，顿时无话可说。 注：本节剧情由棋友Tｊ提供，想看棋谱图片，请留意围棋TV和TOM围棋论坛，预计周三中午发。