第四十三章 有限元分析
有限元这个概念，最早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，就是有限元法的一个应用。 它的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表达复杂的对象。 单元之间通过有限个节点相互连接，然后通过变形协调条件综合求解。 由于单元数量是有限的，节点数目也是有限的，所以才被称为有限元法。 由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣，经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域，并且在工程领域不断深入，遍及宇航工业、核工业、机电、化工、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。 有限元法在产品结构设计中的应用，使得机电产品设计产生了革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。 可以说正是有了有限元法，才让计算机辅助制造成为可能。 后世的有限元分析软件通常可以和通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 不过在这个年代，有限元法提出来才没多少年，国内外对其研究大多处于理论阶段，在工程领域的应用非常少见。 杨卫宁居然将有限元法与CAD软件结合在一起，让设计师直接通过计算机，就能对其设计的产品结构力学特性进行有限元分析，这在计算科学史上，都算得上是一件划时代的大事。 后世一直到九十年代中后期，CAD与有限元的结合才在全球范围内普及开来，而杨卫宁直接让它提前十多年面试，立即引起了陈良伟、刘越、景东阳等人的注意。 “小杨，你说的这个有限元模型生成器，到底是怎么回事？”结构与强度设计室主任张为民问道。 他是搞结构力学的，对这项技术敏感度最高。 杨卫宁仿佛早就知道张为民会问这个问题，微微一笑，说道：“张主任，不知道你们有没有听过有限元分析？” “有限元分析？” 张为民微微一愣是，陈良伟、刘越和谷景阳也面面相觑。 他们都习惯了从工程实践角度去解决问题，对于这些纯理论的东西，了解得并不深。 倒是一旁来自华清大学的邝世林教授第一时间反应了过来，说道：“小杨，你说的有限元分析，是冯康院士提出的基于变分原理的差分方法吧？” 杨卫宁微微一愣，点了点头，笑道：“看来邝教授您也知道有限元法？” 邝世林笑道：“我只是大概有过了解，对这项技术的具体细节知道不深。” 杨卫宁点头道：“有限元分析的本质是用较简单的问题代替复杂问题，然后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，比如零部件结构的平衡条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，所以可以成为行之有效的工程分析手段。” 杨卫宁见众人对这项技术还不是很了解，继续道：“有限元分析真正提出也才没多少年。1969年，雷·克拉夫教授发表一篇名为的《thefiniteelementinplanestress****ysis》的论文，第一次将有限元分析应用到工程领域。” “我们国家对有限元的研究也非常早，香港的张佑启教授，于1967年与辛凯维奇合作，首次出版有限元巨著《结构与连续力学的有限元法》，是有限元特别是板元和壳元的先驱，奠定了半解析解有限元法的基础。中科院的冯康院士，于50年代末60年代初，在解决大型水坝计算问题的集体研究实践的基础上，独立于西方创造了一整套解微分方程问题的系统化、现代化的计算方法，当时命名为基于变分原理的差分方法，就是现在国际上通称的有限元方法。就在前几年，冯康院士在间断有限元理论方面，建立了间断函数类的庞加莱型不等式，并在此基础上建立了间断有限元函数空间的嵌入理论，为组建和指导我国计算数学队伍做出了重大贡献。” 听着杨卫宁将中国科学家在有限元法中的贡献娓娓道来，现场众人为之感到自豪的同时，也暗暗佩服杨卫宁的博闻强识。 这个年代，通信效率极低，科研人员大多只对专业内的一些信息感兴趣，至于其他科研领域的进展，就不甚了解了。 像杨卫宁这样，无论是在航空工程、程序编写、计算科学、应用数学等领域均表现出极高水准的研究员，几乎从来没有见过。 就连一直追踪CAD技术发展的邝世林教授也暗暗感到心惊，也不知这个小杨到底从哪里冒出来的，他懂得东西也太多了吧？ 见众人依旧一副半懂不懂的模样，杨卫宁摇了摇头，也不再过多解释。 等以后他们用习惯了，就知道有限元和CAD结合在一起的功能有多么强大了。 后世著名的菲尔兹奖得主丘成桐教授在清华大学所作题为《中国数学发展之我见》的报告中，对有限元分析有过这样的评价：“中国近代数学能够超越西方或与之并驾齐驱的主要原因有三个，一个是陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚教授在多复变函数方面的工作，最后一个就是冯康教授在有限元计算方面的工作。”